Hoje tivemos nossa P3, as notas já estão disponíveis aqui. A VS será na sexta-feira, 23/12, a partir das 13h20.
Estarei na minha sala (519) amanhã, terça 20/12, entre 12h e 12h40 aproximadamente, caso alguém queira ver as provas, mini-testes etc.
Na quarta-feira, 21/12, haverá prova de reposição. Não haverá prova de reposição, já que os alunos que a fariam desistiram de fazê-la.
Nossa VS será na sexta-feira, 23/12, a partir das 13h20.
Nesta quarta-feira, 4/1, estarei na minha sala entre 11h e meio dia, quem quiser fazer vista de prova apareça por lá.
Ex. 6.1: B de esfera uniformemente magnetizada.
Problema 6.9: K e J de magnetização de cilindro. P. 6.7: B de cilindro infinitamente longo, magnetizado ao longo do eixo.
Interpretação física das correntes de magnetização.
Campo auxiliar H. Ex. 6.2: cilindro dielétrico.
Razão de falarmos mais comumente de E e H (e não D e B).
Condições de contorno para H.
Suscetibilidade e permeabilidade magnéticas - descrevendo meios lineares.
Ex. 6.3: solenoide preenchido com material linear.
O que vimos está no Griffiths, seções 6.2.1 a 6.4.1.
Nossa P3 será na segunda-feira, 19/12, a partir das 13h20. Não cairá na prova a matéria da seção 6.4.2 (ferromagnetismo).
As notas dos mini-testes já estão disponíveis.
Aos 2 alunos que vão precisar fazer a prova de reposição: sugiro terça-feira, 20/12, a partir das 13h20 10h. Por favor confirmem que farão a prova por email diretamente para mim, e digam se o horário proposto é satisfatório. Update: remarcado para quarta a partir das 10h, na minha sala.
O dia/horário que eu proponho para a VS é sexta-feira, 23/12, a partir das 13h20.
Quem quiser olhar a prova pode me procurar na minha sala (519, Torre Nova) nesta sexta-feira, entre 13h20 e 13h50.
Cap. 6: magnetismo na matéria. Três tipos de materiais: paramagnéticos, diamagnéticos, ferromagnéticos.
Torque e força sobre dipolos magnéticos.
Mecanismo do diamagnetismo: efeito de B em órbitas atômicas.
Problema 5.35: momento de dipolo magnético de disco carregado que gira.
Problema 5.39: Efeito Hall.
Magnetização. Campo magnético de objeto magnetizado. Vimos que esse campo pode ser entendido como o campo gerado por certas corrente de magnetização. Na próxima aula discutiremos a interpretação física dessas correntes.
O que vimos está no Griffiths, seções 5.4.3 a 6.2.1.
Exemplo 5.9: B de solenoide longo. Ex. 5.10: campo magnético de toroide com seção reta arbitrária.
Comparação entre eletrostática e magnetostática: leis de Maxwell.
Problema 5.20: inconsistência da Lei de Ampère quando a corrente não é estacionária.
Potencial vetorial A. Liberdade de calibre, calibre de Coulomb. Nesse calibre, e para distribuições localizadas de correntes estacionárias, A satisfaz a equação de Poisson.
Ex. 5.11: A de casca esférica rodando. Ex. 5.12: A de solenoide infinito.
Condições de contorno na magnetostática.
Expansão em multipolos de A. Ex. 5.13: momento de dipolo magnético de certo circuito.
O que vimos está no Griffiths, seções 5.1.3 a 5.4.3.
Exemplo 5.3: circuito levantado pela força magnética. Discussão sobre qual força faz trabalho, e o papel da força magnética nisso.
Descrição de correntes superficiais e volumétricas, e força magnética sobre elas.
Ex. 5.4: cálculo de corrente a partir de densidade volumétrica de corrente.
Equação de continuidade.
Lei de Biot-Savart. O que são correntes estacionárias. Descrição da lei.
Ex. 5.5: B de segmento reto de fio, fio reto infinito.
Problemas 5.9: B de dois fios diferentes (feito por partes, usando o princípio da superposição).
Ex. 5.6: B no eixo de espira circular.
Encontramos o rotacional de B, considerando primeiro um mundo imaginário com somente correntes em fios retos e infinitos, depois correntes arbitrárias. Vimos também que o rotacional de B é sempre nulo.
Aplicações da lei de Ampère. Ex. 5.7: fio reto infinito, novamente. Ex. 5.8: corrente superficial sobre plano infinito.
O que vimos está no Griffiths, seções 5.1.3 a 5.3.3.
Vejam a lista de problemas que podem ser cobrados no 3o mini-teste, que será na segunda-feira, 12/12.
Na próxima quarta-feira, 7/12, não haverá aula (estarei fora, em um workshop).
Forças sobre dielétricos: só discutimos qualitativamente o exemplo de uma placa dielétrica parcialmente inserida em um capacitor de placas planas.
Campo magnético: lembramos qual é o problema fundamental do eletromagnetismo, e vimos que vamos generalizar a situação que estudamos, para incluir movimento tanto das fontes quanto das cargas-teste.
Lei de força de Lorentz, incluindo o campo magnético. Consequências. Exemplo 5.1: movimento de cíclotron. Exemplo 5.2: movimento cicloide. Forças magnéticas não fazem trabalho.
O que é corrente elétrica. Unidades.
O que vimos está no Griffiths, seções 4.4.4 a 5.1.3.
Façam o
Quizz #8 até 13h de quarta, 30/11.
Cargas presas: o que são. Exemplo 4.2: esfera uniformemente polarizada. Ex. 4.3: novo olhar sobre esfera uniformemente polarizada.
Lei de Gauss em dielétricos. Ex. 4.4: fio longo, cercado de isolante. Problema 4.14, problema 4.15.
Disanalogias entre E e D: lembrando que em meios que não sejam homogêneos, o rotacional de D não é zero.
Dielétricos lineares: suscetibilidade, permissividade, permissividade relativa (= constante dielétrica).
Exemplo 4.5: esfera metálica cercada de material dielétrico linear.
Exemplo 4.6: capacitor de placas paralelas com recheio de dielétrico linear. Problema 4.18 (idem).
Problema 4.20: esfera dielétrica com carga livre uniforme.
Problemas de valor de contorno em dielétricos lineares. Exmeplo 4.8: esfera dielétrica em campo E uniforme. Exemplo 4.8: imagem de carga pontual em semi-espaço dielétrico.
Energia em sistemas dielétricos. Exemplo 4.9: esfera dielétrica com carga livre uniforme.
Revisão para a prova: problema 3.29 (termos de multipolo de dipolo elétrico físico). Problema 4.7: energia de dipolo em campo elétrico uniforme.
O que vimos está no Griffiths, seções 4.2.1 a 4.4.3.
Como a mudança de origem das coordenadas afetam os momentos de multipolo. Vimos que se a carga total Q=0, o momento de dipolo não muda.
Problema 3.33: outra forma de escrever o campo elétrico de dipolo elétrico.
Problema 3.28: uma casca esférica com distribuição superficial de carga proporcional ao cos(theta) só tem momento de dipolo.
Problema 3.40: duas distribuições lineares de carga e seus momentos multipolares.
Cap. 4: campo elétrico na matéria. Isolantes e condutores. Como surge um momento de dipolo em átomos neutros sob campo elétrico externo, devido à polarização das suas cargas. Como surge momento de dipolo em materiais polares sob campo E externo. Exemplo 4.1: polarizabilidade de um modelo simples de átomo.
Torque em um dipolo elétrico sob campo E externo. Força sobre ele, caso E seja não-uniforme. Polarização = densidade de momento de dipolo induzido.
Problema 4.5: torque de um dipolo elétrico sobre um outro.
O que vimos está no Griffiths, seções 3.4.3 a 4.1.4.
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O que vimos nas últimas aulas:
Separação de variáveis em problema com simetria plana. Duas propriedades importantes que garantiram a possibilidade da nossa solução fechada: completeza e ortogonalidade do conjunto de soluções encontrado.
Exemplo 3.4: outro com simetria plana. Exemplo 3.5: nosso 1o problema efetivamente tridimensional.
Separação de variáveis em coordenadas esféricas (só consideraremos problemas independentes de phi, ou seja, com simetria azimutal). Soluções da equação radial e da equação angular, polinômios de Legendre.
Exemplo 3.6: casca esférica com V (theta) dado, dentro. Exemplo 3.7: idem, agora para fora da casca.
Exemplo 3.8: esfera metálica em campo externo uniforme. Exemplo 3.9: “colamos” densidade superficial de carga sigma(theta) arbitrária em casca esférica, ache V dentro e fora.
Problema 3.23: separação de variáveis em coordenadas cilíndricas. Probelma 3.20: usando um resultado anterior (esfera metálica neutra em campo uniforme) para encontrar V de esfera metálica carregada em campo uniforme.
Expansão em multipolos. Exemplo 3.10: dipolo físico.
Multipolos: expansão geral do potencial de distribuição localizada de cargas. Identificação dos termos de monopolo, dipolo, quadrupolo… Discutimos com mais cuidado o V e E de monopolo e dipolo.
O que vimos está no Griffiths, seções 3.3.1 a 3.4.4.
problema clássico das imagens: força e energia.
Outros problemas resolvidos pelo método das imagens: exemplo 3.2 (carga perto de esfera aterrada). Problema 3.8: variação desse exemplo. Problema 3.10: espelhos fazendo um ângulo. Problema 3.35: carga entre dois espelhos.
Técnica de separação de variáveis. Exemplo 3.3.: simetria plana.
O que vimos está no Griffiths, seções 3.2.4 a 3.3.1.
Nota: na sexta, 28/10 não haverá aula, pois é recesso do dia do funcionário público.
Condições de contorno e teoremas de unicidade.
Teorema número 1: V na superfície de volume determina univocamente a solução da equação de Laplace (e logo, o campo E). O mesmo é válido quando também temos cargas na região de interesse.
Condutores e teorema de unicidade número 2: sabendo cargas nos condutores e rho no volume, determinamos univocamente o campo.
Método das imagens: começamos discutindo o problema clássico, de uma carga pontual perto de um plano aterrado. Encontramos uma segunda configuração que tem o mesmo V na borda da região de interesse (= semi-espaço contendo a carga), e que tem o mesmo rho ali (=a carga), logo o campo dessa 2a configuração deve ser o mesmo que o do problema original, no semi-espaço de interesse. Depois de acharmos o potencial na região, fica fácil achar a distribuição superficial de cargas usando as condições de contorno para V. Integrando sigma encontramos que a carga induzida no plano é -q.
O que vimos está no Griffiths, seções 3.1.5 a 3.2.2. Façam o Quizz #6 até as 13h de sexta, 7/10.
Repostando um aviso importante: não haverá aulas na semana que vem, estarei fora em viagem de trabalho; ou seja, não teremos aulas nas próximas duas semanas, já que a semana seguinte é a semana da agenda acadêmica. Mais concretamente: depois de sexta, 7/10, nossa próxima aula será somente na segunda-feira, 24/10.
Outro aviso: reparem que já anunciei as datas da P2, P3 e VS, estão na página inicial deste site.
PS: teremos vista de prova na segunda 24/10, as notas já estão disponíveis.
Capacitores: definição de capacitância. Exemplo 2.10: C de capacitor de placas paralelas.
Ex. 2.11: C de cascas esféricas concêntricas.
Trabalho para carregar um capacitor.
P2.39: C para cascas cilíndricas coaxiais.
Cap. 3: técnicas especiais para o cálculo de V e E. Vamos iniciar estudando a equação de Laplace.
Equação de Laplace em 1D, 2D, 3D. Propriedades básicas: 1- V(x,y,z) é a média de V em superfície esférica de raio R, centrada em (x,y,z). 2- V não pode ter máximos e mínimos locais - o máximo e mínimo de V só pode ocorrer na borda da região de interesse.
Problema 3.1: média de V na superfície de esfera, quando as cargas estão dentro da esfera.
Problema 3.2: Teorema de Earnshaw - impossibilidade de equilíbrio estável de carga em campo eletrostático.
O que vimos está no Griffiths, seções 2.5.4 a 3.1.4.
Aviso: não haverá aulas na semana que vem, estarei fora em viagem de trabalho; ou seja, não teremos aulas nas próximas duas semanas, já que a semana seguinte é a semana da agenda acadêmica. Mais concretamente: depois de sexta, 7/10, nossa próxima aula será somente na segunda-feira, 24/10.
Não tive tempo de propor um quizz para a aula de quarta, mas façam o Quizz #6 até as 13h de sexta, 7/10.
Uma densidade superficial de carga leva a uma descontinuidade do campo elétrico. Qual será então a força sobre essa distribuição superficial? Respondemos a essa pergunta, descobrindo que deve-se considerar o campo médio (média de acima e abaixo da superfície).
Fizemos muitos problemas como revisão para a P1. P. 2.34, P. 2.38, P. 2.37, P 2.51, P. 2.33, P. 2.36, P. 2.18, P. 2.13, P. 2.22.
A matéria a ser cobrada na prova de sexta é o cap. 1 e cap. 2, com exceção da seção 2.5.4 (capacitores). A prova é a partir das 13h30, e a nossa turma fará prova juntamente com a turma do prof. Moriconi, provavelmente na sala 403 (verifiquem com ele). Eu estarei presente no início da prova, para tirar qualquer dúvida.
O potencial elétrico V satisfaz ao princípio da superposição.
Exemplo 2.6: V dentro e fora de casca esférica.
Eqs. de Poisson e Laplace para V.
V de distribuição localizada de carga (com V=0 no infinito).
Ex. 2.7: V de casca esférica uniformemente carregada.
Condições de contorno para E e V quando há uma distribuição superficial de carga.
Problema 2.21: V dentro e fora de esfera uniformemente carregada.
Trabalho e energia na eletrostática: V é a energia potencial por unidade de carga. Calculando a energia de distribuição de cargas pontuais.
Problema 2.31: 3 cargas nos vértices de um quadrado, trazendo uma quarta carga para o quarto vértice.
Energia de distribuição contínua de carga. Obtivemos duas fórmulas, uma em termos do rho e V, e outra em termos somente do campo elétrico.
Exemplo 2.8: energia de casca esférica uniformemente carregada.
Problema 2.32: calculando a energia de uma esfera uniformemente carregada de três maneiras diferentes.
Condutores: propriedades. Exemplo 2.9: condutor esférico com buraco assimétrico.
Problema 2.35: esfera sólida de condutor, concêntrica com casca esférica grossa de condutor.
O que vimos está no Griffiths, seções 2.3.2 a 2.5.2.
Atenção: a P1 é na próxima sexta-feira, e inicia às 13h30.
Hoje tivemos o mini-teste 1.
Aplicando a Lei de Gauss. Ex. 2.2: campo fora de esfera uniformemente carregada.
Ex. 2.3: campo dentro de cilindro, com rho dada.
Ex. 2.4: plano infinito com densidade uniforme de carga.
Ex. 2.5: dois planos infinitos parelelos, densidades opostas e uniformes de carga.
Fizemos integral de linha de E, e com isso aprendemos que o rotacional de distribuições estáticas de carga é nulo.
P. 2.12: campo E dentro de esfera uniformemente carregada.
Como o rot de E é zero, podemos definir V tal que E é menos o gradiente de V. V é o potencial elétrico. Equivalentemente, V é a integral de linha de um ponto de referência arbitrário (geralmente no infinito) até o ponto de interesse. Vimos que mudar o ponto de interesse equivale a acrescentar uma constante a V, o que não muda E.
O que vimos está no Griffiths, seções 2.2.3 a 2.3.1. O Quizz #5 deve ser feito até sexta 23/9 às 13h.
Definição de campo elétrico. Exemplo 2.1: calculando campo de 2 cargas pontuais.
Campo elétrico de distribuições contínuas de carga. Exemplo 2.2: campo de linha finita com densidade uniforme de carga. Problema 2.5: Campo elétrico acima do centro de anel com densidade linear de carga uniforme; problema 2.6: campo no eixo de disco com densidade uniforme de carga.
Visualizando as linhas de campo elétrico. Relação entre fluxo de E e carga encerrada em um volume. Formulações integral e diferencial da Lei de Gauss.
Problema 2.10: carga no canto de cubo, calcular fluxo em face distante.
O que vimos está no Griffiths, seções 2.1.3 a 2.2.2.
Lembrem do mini-teste no início da próxima aula.
Exemplo 1.16: duas formas de calcular uma integral, a mais simples usa propriedade da função delta de Dirac.
Teorema de Helmholtz: importância das condições de contorno para unicidade de soluções de equações diferenciais de campos vetoriais.
Teorema de campos irrotacionais; teorema sobre campos com divergente nulo. Problema 1.50.
Problema 1.26 (divergente do rotacional de função vetorial arbitrária).
Problema 1.46: como usar a função delta para descrever densidades de carga ou massa.
Problema 1.62: calculando um divergente, e verificando a validade do teorema do divergente.
Cap. 2: campo elétrico. Expressão para a força de uma carga sobre outra (cabeludíssima). Vamos atacar esse problema básico da eletrodinâmica em passos graduais, aprendendo muita física no caminho.
Lei de Coulomb.
Problema 2.1: usando o princípio da superposição.
O que vimos está no Griffiths, seções 1.6 a 2.1.2.
Façam o Quizz #4 até 13h de segunda-feira, 19/9.
O teorema fundamental do cálculo. Versões de uma variável, e teoremas fundamentais para o gradiente, divergente e rotacional, com interpretações geométricas. Exemplos em que verificamos a validade dos teoremas. Integração por partes em uma variável, e generalizações usando as regras do produto de funções escalares e vetoriais.
Problema 1.35: provando duas regras de integração por partes.
Coordenadas esféricas: definição, vetores unitários, deslocamentos infinitesimais, elemento infinitesimal de volume, exemplos. Idem para coordenadas cilíndricas. Como calcular o gradiente, divergente e rotacional em outros sistemas de coordenadas.
Função delta de Dirac. O mistério do rotacional de erre chapéu/r^2. Função delta em 1 dimensão: definição como limite de sequência de funções. Propriedade fundamental: selecionar valores da função teste, sob uma integral. Como mostrar que duas expressões envolvendo distribuições (como a delta) são iguais. Exemplos 1.14 e 1.15. Problema 1.45 (que inclui a derivada da função degrau). Função delta em 3 dimensões.
O que vimos está no Griffiths, seções 1.3.2 a 1.5.3. Nosso 1o mini-teste será na meia-hora inicial da aula de quarta, 21/9, vejam aqui a lista de problemas que podem ser escolhidos. Façam o Quizz #3 até 13h de sexta, 16/9.
Como posições se transformam sob rotações, e como isso é usado para definir o que é um vetor. Tensores.
Derivada, gradiente, interpretação geométrica do gradiente. exemplo 1.3: cálculo de gradiente. Problema 1.13: gradiente de potências de “erre redondo”.
O operador nabla. O Divergente, interpretação geométrica. Rotacional e sua interpretação geométrica. Exemplos 1.4 e 1.5, cálculos de divergente e rotacional.
Relembramos as regras de derivada de produto de duas funções de uma variável. Seis regras para as derivadas de produtos de funções escalares e vetoriais.
Derivadas segundas: são seis, mas todas se reduzem a uma que não tem nome, e ao Laplaciano.
Integrais de linha e exemplos, integrais de superfície e exemplos, integrais de volume. Exemplos 1.6, 1.7 e 1.8.
O que vimos está no Griffiths, seções 1.1.5 a 1.3.1. Façam o Quizz #2 até 13h de segunda 12/9.
Produto vetorial: propriedades, interpretação geométrica como área de paralelogramo.
Álgebra vetorial em termos de componentes: como somar vetores, multiplicar por escalar, calcular o produto escalar e o produto vetorial. Ex. 1.2: ângulo entre duas diagonais de cubo.
Produtos triplos: produto escalar triplo e sua interpretação em termos de volume de um paralelepípedo. Produto vetorial triplo, e como simplificá-lo usando a regra BAC-CAB.
Notação: vetor posição, vetor “r redondo”, e por que o erre redondo será útil no eletromagnetismo.
O que vimos está nas seções 1.1.1 a 1.1.4 do Griffiths.
Bem vindos ao curso de Teoria Eletromagnética I, deste 2o semestre de 2016! Veja os problemas recomendados do cap. 1, bem como o Quizz #1, a ser feito online até 12h de sexta, 2/9.
O que vimos hoje:
Conteúdo do curso, critério de avaliação, Quizzes, Mini-testes. As datas de prova ainda serão marcadas.
Introdução: como o eletromagnetismo se situa em relação à relatividade, mecânica quântica, teoria quântica de campos. As 4 forças da Natureza. Como o eletromagnetismo representou uma unificação de 3 teorias. A noção de campo. Propriedades da carga elétrica, sistemas de unidades.
Análise vetorial (cap. 1 do Griffiths). Escalares e vetores, operações com vetores: adição, multiplicação por escalar, produto escalar.
O que vimos está na “Mensagem” inicial e na seção 1.1.1 do Griffiths.